慣性モーメントの計算をやさしく図解｜形ごとの式とモータ軸への換算

慣性モーメントは、サーボモータや減速機を選ぶときに必ず出てくる値です。ところが資料には完成した式だけが並び、「なぜこの形?」がわからないまま数字を入れることになりがちです。

この記事では、慣性モーメントを回転いすに座ってダンベルを持つ人のたとえで説明し、式を「力 = 質量 × 加速度」から1段ずつ組み立てます。最後は工場の機械でよくある3つの例をモーターの軸の値まで計算し、同じ式で動く計算ツールを置きました。

そもそも慣性モーメントって何?「回しにくさ」です

止まっている物を動かすのに力が要り、重い物ほど動かしにくいことは、毎日の経験で知っていますね。この「動かしにくさ」が質量です。回る物にも同じように「回しにくさ」があり、それを慣性モーメントと呼びます。工場では英語の moment of inertia から「イナーシャ」とも呼びます。

つまり、回しにくさは重さだけでなく、重さが軸からどれだけ離れているかで決まります。しかも、あとで式で見るとおり、距離は2乗で効きます。距離が2倍になると、回しにくさは4倍です。

この表の見方：以降は、左の「回転いすの人」の話で進めます

回転いすのたとえ	本物の機械では
いすの柱	モーターの軸・回転テーブルの軸
手に持ったダンベル	テーブルにのせたワーク・アームの先のハンド
腕の長さ	軸からワークまでの距離 r
回してくれる人の力	モーターのトルク(ねじる力)

単位は kg·m²(キログラム平方メートル)です。「質量 kg × 距離 m の2乗」なので、この単位になります。

なぜ計算するの?そして m×r² はどこから来た?

何のために計算するのか。モーターが物を回し始めるのに要るトルクは、T = J × α(回しにくさ × 回り方を速くする割合)で決まります。J がわからないと、加速に要るトルクも、サーボの選定で見る慣性比も出せず、モーターの大きさを決められません。

かけら1つで式を組み立てる

1段目:まっすぐなら F = m × a。質量 m の物に加速度 a を与えるには、力 F = m × a が要ります(理科で習う式)。

2段目:回るかけらの加速度。軸から r 離れた所にある小さなかけらを考えます。軸のまわりの回り方を α(角加速度)の割合で速くすると、かけらの円周に沿った加速度は a = r × α です。軸から遠いかけらほど、同じ回り方でも速く動くからです。

3段目:ねじる力 = 力 × 腕の長さ。このかけらを押す力は F = m × r × α。この力で軸をねじる強さ(トルク)は、力に腕の長さ r を掛けて T = m × r² × α です。

4段目:回しにくさ = m × r²。T = J × α と見比べると、このかけらの回しにくさは J = m × r² です。物全体は、かけらを全部足して J = Σ m r²(Σ は「全部足す」の記号)になります。

ここで「え、なんで r が2回?」と思った方へ。1回目は「遠いかけらほど速く動くので、要る力が r 倍」、2回目は「その力でねじる腕の長さも r 倍」だからです。回転いすで腕を広げると急に回しにくくなるのは、この2つが重なるためです。

円板の式 ½ × m × R² は、リングに分けて足すと出る

回転テーブル・プーリー・軸など、工場で一番よく出てくるのは中まで詰まった円板(円柱)です。全部の質量が縁(半径 R)にあれば J = m × R² ですが、実際は中心の近くにも質量があるので、それより小さくなります。

そこで、円板を年輪のように細いリング(輪)に分け、リングごとに「質量 × 半径²」を出して足します。外側のリングほど面積が広く(質量が大きく)、しかも r² も大きいので、外側の輪がほとんどを占めます。半径を4つに分けて計算すると、m = 1・R = 1 として合計 0.484 になりました。

この表の見方：細かく分けるほど 0.5 に近づきます(筆者の計算。各リングの中央の半径で計算)

半径をいくつに分けるか	m × r² の合計(m = 1・R = 1 として)
2本	0.438
4本	0.484
10本	0.498
100本	0.500

ざっくり言うと、「円板の重さを全部、半径の約 0.71 倍(√0.5)の所に集めたのと同じ回しにくさ」ということです。本当は積分という計算で出しますが、リングの足し算でも同じ答えに近づくことがわかります。中空の円柱(パイプ)は、外径 D の円板から内径 d の円板を抜いた形で、J = m × (D² + d²) ÷ 8 になります。

円板は直径の4乗で効く:直径2倍で16倍

式 J = m × D² ÷ 8 だけを見ると、直径の2乗で効くように見えます。ところが、厚さが同じ円板は、直径が2倍になると面積が4倍になり、質量も4倍になります(質量 = 密度 × π × D² × 厚さ ÷ 4)。そこに D² の4倍が掛かるので、4 × 4 = 16倍です。

ρ(ロー)は材料の密度[kg/m³]、t は厚さ[m]です。桁の確かめとして、直径 200 mm・厚さ 20 mm の鋼の円板は約 4.9 kg で、片手で持てる重さの円板の回しにくさは 0.01〜0.1 kg·m² の桁、と覚えておくと、計算の大きな間違いに気づけます。

回しにくさが16倍になると、実際の回り方がどれだけ変わるのかを、動く図で確かめます。

見てほしいのは、直径は2倍なのに、同じ力で回したときの速さの上がり方が16分の1になることです。大きい円板を同じ時間で回すには、16倍の力(トルク)が要ります。

直方体・棒と、軸がずれたとき(形ごとの式の一覧)

細い棒を真ん中で回すとき、棒の各部分の中心からの距離は 0 から L/2 まであります。距離² を平均すると (L/2)² の3分の1、つまり L² ÷ 12 になるので、J = m × L² ÷ 12 です。直方体は、軸に直角な2つの辺 a・b の両方向に広がっているので、J = m × (a² + b²) ÷ 12 になります。

回る軸が重心からずれているとき(テーブルの端にのせたワーク・根元で回すアームなど)は、J = Jg + m × r² で足します。Jg は重心のまわりの回しにくさ、r は重心から回る軸までの距離です。「物が軸のまわりを大きく回る分(m r²)」と「物自身が重心のまわりで回る分(Jg)」の足し算です。これを平行軸の定理と呼びます。

この表の見方：寸法は m、質量は kg で入れると答えは kg·m² になります。下の2行は次の節で説明します

形	回る軸	式
中まで詰まった円柱・円板(軸・ローラ・テーブル)	中心の軸	J = m × D² ÷ 8
中空の円柱(パイプ・肉抜きしたプーリー)	中心の軸	J = m × (D² + d²) ÷ 8
直方体(アーム・ブロック)	重心を通り、辺 a・b に直角	J = m × (a² + b²) ÷ 12
細い棒	重心を通り、棒に直角	J = m × L² ÷ 12
軸からずれた物	重心から r 離れた平行な軸	J = Jg + m × r²
ボールねじで動く物	ねじ軸	J = m × (Ph ÷ 2π)²(Ph:リード)
ベルト・ラックで動く物	プーリー・ピニオンの軸	J = m × (D ÷ 2)²

目安

質量がわからないときは密度 × 体積で出します。三木プーリの比重の一覧では、炭素鋼 7.81〜7.86、ステンレス(SUS304)8.03、アルミ合金 2.66〜2.80 です。この記事の計算は、鋼 7850 kg/m³・アルミ合金 2700 kg/m³ を目安に使います。

まっすぐ動く物も「回しにくさ」に換算できる

工場の機械では、モーターの回転をボールねじやベルトでまっすぐな動きに変えることがよくあります。台は回っていないのに、なぜ「回しにくさ」があるのでしょうか。

ボールねじはリード(1回転で進む距離)が小さいほど、モーターから見た回しにくさが小さくなります。リード 10 mm を 20 mm にすると、同じ台でも回しにくさは 4 倍です(リードの2乗で効くため)。そのかわり、同じ速さで台を動かすのに要るモーターの回転は半分で済みます。ベルトやラックで動く物は、1回転で進む距離が π × D なので、J = m × (D ÷ 2)² になります。

減速機の先の物は、減速比の2乗で軽く見える

減速比を「モーター n 回転で負荷が1回転(1/n)」と書くと、負荷の回しにくさは、モーターから見ると 1/n² になります。1/10 の減速機なら 1/100、1/20 なら 1/400 です。軽く見える代わりに、同じ速さで負荷を回すにはモーターが n 倍速く回る必要があるので、モーターの最高回転速度で上限が決まります。

減速比を変えると、モーターの回る回数と、モーターから見た回しにくさがどう変わるかを、動く図で確かめます。

見てほしいのは、減速比を 1/10 から 1/20 へ2倍にすると、モーターの回る回数は2倍になり、モーターから見た回しにくさ(棒)は4分の1になることです。

換算の式は「エネルギーが同じ」から出る

直線の物の換算も、減速比の2乗も、出どころは同じ1つの考え方です。物が持つ運動のエネルギーは、モーターから見ても同じ、というものです。まっすぐ動く物のエネルギーは ½ × m × v²、回る物のエネルギーは ½ × J × ω²(ω は1秒に回る角度)です。

直線の物:モーターが1回転(2π ラジアン)すると台は Ph 進むので、台の速さは v = ω × Ph ÷ 2π。これを ½ × m × v² に入れて ½ × J × ω² と等しいとおくと、J = m × (Ph ÷ 2π)² が出ます。

減速機:負荷の角速度はモーターの 1/n(ωL = ωM ÷ n)。½ × JL × ωL² = ½ × J × ωM² とおくと、J = JL ÷ n² が出ます。2乗になるのは、エネルギーが「速さの2乗」で決まるからです。

桁の確かめ:20 kg の台が 0.5 m/s で動くとき、½ × 20 × 0.5² = 2.5 J。リード 10 mm のねじなのでモーターは 314.16 rad/s で回り、J = 20 × (0.010 ÷ 2π)² = 0.507 × 10⁻⁴ kg·m² を使うと ½ × 0.507 × 10⁻⁴ × 314.16² = 2.5 J。同じになります。

計算してみよう1:ワークを4個のせた回転テーブル

何のための計算か:このテーブルを回すモーターと減速機を選ぶために、モーターから見た回しにくさを出します。数値はすべて説明のための例です。

条件(例)	値
テーブル	鋼の円板。直径 300 mm、厚さ 20 mm
ワーク	円柱(直径 50 mm)、1個 2.0 kg を4個。中心はテーブルの中心から 100 mm
駆動	減速機を通してサーボモータで回す(減速比はあとで比べる)

ワークの 0.0825 kg·m² のうち、自分の重心のまわりの分は 4 × 0.000625 = 0.0025 kg·m² しかありません。ほとんどが「軸から 100 mm 離れていること」による分です。回転いすで腕を広げてダンベルを持つのと同じで、小さなワークでも軸から離して置くと大きく効きます。

この表の見方：減速比を大きくするほど慣性比は急に下がり、モーターの回る速さは上がります(テーブル 30 r/min は例)

減速比	モーターから見た回しにくさ [×10⁻⁴ kg·m²]	慣性比(750W 級の例)	テーブル 30 r/min のときのモーターの速さ
1/5	83.0	69.1 倍	150 r/min
1/10	20.7	17.3 倍	300 r/min
1/15	9.2	7.7 倍	450 r/min
1/20	5.2	4.3 倍	600 r/min
1/30	2.3	1.9 倍	900 r/min

答えの意味:この例では 1/15 より大きな減速比で、慣性比が 10 倍(例)の中に入ります。実際には、ここに減速機そのものの回しにくさ(カタログの入力軸換算の値)を足し、モーターの最高回転速度とテーブルに要るトルクも確かめて減速比を決めます。

計算してみよう2:ボールねじを直結とベルト 1:2 で比べる

ボールねじで台を動かす軸を、モーターとねじを直結した場合と、タイミングベルトで 1:2 に減速した場合で比べます。数値は架空の例です。

条件(例)	値
台+ワーク・ボールねじ	20 kg/リード 10 mm、軸の直径 16 mm、長さ 500 mm(鋼)
直結のとき	カップリングの回しにくさ 0.10 × 10⁻⁴ kg·m²
ベルト 1:2 のとき	モーター側 Φ40・ねじ側 Φ80 のプーリー(アルミ合金・幅 20 mm、中まで詰まった円板とみなす)。ベルトの質量は含めない

台とねじ軸は 1/4 になったのに、合計はほとんど減りませんでした。原因は、ねじ側の大きいプーリーです。直径 80 mm のプーリーの回しにくさ(2.171 × 10⁻⁴)は、台(0.507 × 10⁻⁴)の4倍以上あります。直径の4乗で効くからです。プーリーを中空(内径 50 mm とみなす)にしても 0.786 × 10⁻⁴ で、1割しか減りません。しかも 1:2 に減速したので、モーターは直結の2倍の 6000 r/min で回る必要があります。

計算してみよう3:根元で回すアームと先端のハンド

条件(例)	値
アーム	アルミ合金の直方体。長さ 200 mm × 幅 40 mm × 厚さ 20 mm。根元の端で回す(軸は 200 × 40 の面に直角)
ハンド	0.3 kg。回る軸から 200 mm の位置(小さいので点とみなす)

アームは 0.432 kg あるのに、回しにくさはハンド(0.3 kg)の半分以下です。ハンドは軸から一番遠い 200 mm にあるからです。回転いすで、腕の先にダンベルを持つのと同じです。アームで回す機械では、先端を軽くするのが、回しにくさを下げる一番の近道になります。

慣性モーメントの計算ツール(形・減速比・慣性比)

この記事の式で動く計算ツールです。部品を1つずつ足すと、負荷側の合計、減速比で換算したモーターの軸の値、モーターの慣性を入れたときの慣性比まで出ます。

使い方の例(計算例2の直結)

よくある間違いと、どこまで細かく計算するか

この表の見方：上の3つは単位、真ん中の2つは式の使い方、最後は足し忘れの間違いです

よくある間違い	ずれ方	正しくは
寸法を mm のまま式に入れる	D² で 100万倍ずれる	m に直す(300 mm → 0.300 m)。mm で入れる式には ×10⁻⁶ が付いている
直径と半径を取り違える	4 倍ずれる	J = m × D² ÷ 8 = m × R² ÷ 2。どちらの式か確かめる
GD² をそのまま J として使う	4 倍大きい	J = GD² ÷ 4
減速比を2乗しない・向きを逆にする	n 倍、逆なら n⁴ 倍ずれる	負荷側の値 ÷ n²(n = モーターの回転数 ÷ 負荷の回転数)
平行軸の定理の r を端から測る	大きく、または小さく見る	r は重心から回る軸までの距離
ねじ軸・カップリング・プーリー・減速機を入れ忘れる	慣性比を小さく見て、試運転でゆれる	モーターが回すものを全部一覧にしてから足す

古い図面やモーターの資料では、回しにくさを GD²(ジーディースクエア)[kgf·m²] で書いていることがあります。J = m × R²、GD² = W × D² で、直径は半径の2倍なので、数値は GD² = 4 × J です。GD² と回転のエネルギーは、同じ筆者が運営する電気のブログ shirasusolo.net のはずみ車(フライホイール)の GD²で詳しく解説しています。なお、梁のたわみに使う「断面二次モーメント」(記号 I、単位 m⁴)は別物です。

計算した値は、サーボの選定では慣性比と加速トルクに使い、試運転ではアンプが自動で推定した値(オートチューニング)と見比べます。大きく違うときは、部品の入れ忘れか、機械の摩擦・ガタを疑うきっかけになります。

よくある質問

まとめ:慣性モーメントは回しにくさ。m×r² を足して、モーターの軸に換算する

出した回しにくさは、サーボモータの選定(加速トルク・実効トルク・慣性比)で使います。選定の手順を、台車を押す人のたとえと計算例でまとめた記事を、公開しだいここに並べます。